Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear

Penyelesaian Soal Persamaan Linear

Untuk mencari penyelesaian umum atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear, ada beberapa cara yang sederhana adalah substitusi (seperti di SMU). Sebelum mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear, perhatikan terlebih dahulu metode dasar atau elementer yang mirip dengan metode substitusi yaitu operasi baris elementer yang lebih dikenal dengan sebutan OBE.

Pada metode substitusi, langkah untuk menghilangkan sebuah variabel dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu;

1. Mengalikan persamaan dengan sebuah konstanta tak-nol
2. Tukarkan dua persamaan
3. Tambahkan perkalian dari persamaan ke persamaan yang lain

Sedangkan pada metode operasi baris elementer, langkah untuk menghilangkan sebuah konstanta pada kolom tertentu dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu;

1. Mengalikan baris dengan sebuah konstanta tak-nol
2. Tukarkan dua baris
3. Tambahkan perkalian dari baris ke baris yang lain

CONTOH 1 - Perhatikan sistem persamaan linear berikut ini;

Untuk menyelesaikan dengan metode substitusi, lakukan langkah pertama, yaitu: kalikan Persamaan 1.10 dengan 2, sehingga menjadi

kemudian kurangkan Persamaan 1.11 dengan Persamaan 1.10, maka Persamaan 1.11 menjadi

dan

Tetapi, jika menggunakan metode OBE, buatlah matriks diperbesar dari sistem persamaan linear tersebut, kemudian lakukan OBE dengan perintah, kurangi baris kedua dengan dua kali baris pertama, dilanjutkan kurangi baris satu dengan dua kali baris kedua, sehingga saat dikembalikan ke bentuk sistem persamaan linear lagi menjadi : x = 1 dan y = 2

Baris Eselon Tereduksi

Telah dipelajari langkah-langkah OBE, seperti pada Contoh 1.2.1. Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk dari suatu matriks yang mempunyai sifat baris eselon dan baris eselon tereduksi adalah sebagai berikut:

1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak-nol pertama dalam baris tersebut adalah satu yang disebut dengan utama-1
2. Jika ada baris terdiri dari nol semua, maka pindahkan ke bagian bawah matriks
3. Jika ada dua baris yang beurutan yang tidak seluruhnya nol, utama-1 pada baris yang lebih bawah terletak disebelah kanan utama-1 dari baris atasnya
4. Setiap kolom yang berisi utama-1 mempunyai nol di baris yang lainnya

Jika suatu matriks mempunyai sifat 1, 2 dan 3, maka matriks tersebut disebut matriks bentuk baris eselon, sedangkan matriks yang mempunyai ke-empat sifat tersebut dinamakan matriks bentuk baris eselon tereduksi.

CONTOH 2 - Matriks-matriks dalam bentuk baris eselon, seperti dibawah ini;

Sedangkan matriks-matiks dalam bentuk baris eselon tereduksi adalah

Metode Eliminasi Gauss

Metode eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan OBE, sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon. Setelah terbentuk baris eselon, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.

CONTOH 3 - Selesaikan sistem persamaan linear dibawah ini dengan menggnakan metode eliminasi Gauss

Jawab:

Ubah sistem linear ke bentuk matriks diperbesar,

kemudian lakukan OBE, sedemikian hingga matriksnya menjadi bentuk baris eselon, seperti

Ubah kembali ke sistem linear menjadi

lakukan substitusi balik, yaitu

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2 dan z = 3

Metode Eliminasi Gauss-Jordan

Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan OBE, sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon tereduksi. Setelah terbentuk baris eselon tereduksi, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan ditemukan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.

Dengan Contoh 1.2.3, lanjutkan OBEnya sedemikian hingga matriksnya berbentuk baris eselon tereduksi, yaitu

kembalikan ke bentuk sistem linear, yaitu

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah x = 1, y = 2 dan z = 3

CONTOH 4 - Carilah penyelesaian dari sistem linear homogen berikut

Jawab:

Ubah sistem linear dalam bentuk matriks, kemudian lakukan OBE sehingga menjadi matriks dalam bentuk eselon tereduksi, seperti;

kembalikan ke sistem linear, sehingga didapat

Jadi penyelesaiannya adalah x1 = s, x2 = -2s, x3 = s, x4 = 0

Kesimpulan SPL

(1) Sistem persamaan linear (SPL) yang terdiri dari m buah persamaan dan n buah variabel dapat dituliskan dalam bentuk persamaan matriks

AX = B

dimana A adalam matriks real berukuran m x n, X = (x1, ..., xn)t, dan B = (b1, ..., bn)t. Jika B = 0 sistem di atas disebut SPL homogen.

(2) Teknik mendapatkan solusi SPL adalah dengan mengubah matriks lengkap (A|B) ke bentuk eselon baris (A'|B') dan melakukan substitusi balik. Setiap kolom pada A' yang tidak mempunyai 1 utama memunculkan sebuah parameter pada variabel bersangkutan.

(3) Banyaknya baris tak nol pada matriks eselon baris A' disebut rank dari A, dinotasikan rank(A). Dalam hal ini kita mempunyai teorema bahwa: Suatu SPL AX = B mempunyai solusi jika dan hanya jika rank(A) = rank(A|B).

(4) SPL AX = B dengan n buah variabel mempunyais solusi tunggal jika dan hanya jika rank(A) = n. Jika rank(A) < n maka SPL mempunyai solusi tak hingga banyak dengan parameter yang terlibat sebanyak n - rank(A).

(5) SPL homogen AX = 0 dimana A berukuran m x n dan n > m selalu mempunyai solusi tak hingga banyak. Banyaknya parameter yang terlibat adalah n - rank(A).

(6) Pada SPL homogen AX = 0 dimana A berukuran n x n berlaku: SPL mempunyai solusi tunggal jika dan hanya jika det(A) ≠ 0. Jika det(A) = 0 maka SPL di atas mempunyai solusi tak hingga banyak.