Aljabar linier

Aljabar linier

Sistem Persamaan Linear
Persamaan linear adalah persaman yang tidak mengandung atau melibatkan hasil kali atau akar variabel, semua variabel mempunyai pangkat satu dan tidak sebagai variabel bebas dari fungsi trigonometri, logaritma atau eksponen.
CONTOH 1.1.1 Beberapa persamaan linear, yaitu
2x + 3y = 6 (1.1)
4×1 + 3×2 + 2×3 = 12 (1.2)
a1x1 + a2x2 + a3x3 + ¢ ¢ ¢ + anxn = b (1.3)
Persamaan 1.1 yaitu persamaan linear dengan variabel x dan y, dengan koefisien 2 dan 3 yang merupakan persamaan garis. Persamaan 1.2 yaitu persamaan linear dengan variabel x1 ; x2 dan x3, dengan koefisien 4; 3 dan 2 yang merupakan persamaan bidang. Sedangkan Persamaan 1.3 yaitu persamaan linear dengan variabel xi dan koefisien ai dan b dengan i = 1; 2; 3; ¢ ¢ ¢ ; n.
Persamaan linear yang lebih dari satu (terhingga) dan variabelnya saling terkait, himpunan persamaan tersebut dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear.
Sistem linear yang terdiri dari dua persamaan dengan tiga variabel,
4x- 2y + 3z = -1
3x + y + 9z = -4
Salah satu penyelesaian dari sistem linear tersebut adalah x = 1, y = 2 dan z =–1, karena nilai tersebut memenuhi kedua persamaan, sedangkan penyelesaian yang lain, x = 2, y =–1 dan z = –1 bukan penyelesaian dari sistem tersebut, sebab nilai tersebut memenuhi
persamaan yang kedua, tetapi tidak memenuhi persamaan pertama. Sistem linear tersebut tidak konsisten, karena jika persamaan pertama dikalikan dengan tiga, kedua persamaan tersebut tidak konsisten, sehingga sistem linear tersebut tidak mempunyai penyelesaian.

Sistem Linear Homogen
Suatu sistem dikatakan linear homogen, jika matriks b diganti dengan matriks 0, atau sistem
tersebut mempunyai bentuk
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 + …. + a2nxn = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ….+a3nxn = 0 (1.9)
…………………………………………….
…………………………………………….
………………………………………….
am1x1 + amx2 + am3x3 + ….. + amnxn = 0
Sistem ini mempunyai penyelesaian trivial jika x1 = x2 = x3 = ….. = xn = 0 dan mempunyai penyelesaian tak trivial jika sistem mempunyai penyelesaian selain itu.


Penyelesaian SPL
Untuk mencari penyelesaian umum atau himpunan penyelesaian dari suatu sistem persamaan linear, ada beberapa cara yang sederhana adalah substitusi (seperti di SMU). Sebelum mencari penyelesaian dari sistem persamaan linear, perhatikan terlebih dahulu metode dasar atau elementer yang mirip dengan metode substitusi yaitu operasi baris elementer yang lebih dikenal dengan sebutan OBE.
Pada metode substitusi, langkah untuk menghilangkan sebuah variabel dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu
1. Mengalikan persamaan dengan sebuah konstanta tak-nol
2. Tukarkan dua persamaan
3. T ambahkan perkalian dari persamaan ke persamaan yang lain
Sedangkan pada metode operasi baris elementer, langkah untuk menghilangkan sebuah konstanta pada kolom tertentu dapat dilakukan dengan tiga langkah, yaitu
1. Mengalikan baris dengan sebuah konstanta tak-nol
2. Tukarkan dua baris
3. T ambahkan perkalian dari baris ke baris yang lain
CONTOH:
Pandang sistem persamaan linear berikut ini,
x + 2y = 5 (1.10)
2x + 5y = 12 (1.11)
Untuk menyelesaikan dengan metode substitusi, lakukan langkah pertama, yaitu: kalikan Persamaan 1.10 dengan 2, sehingga menjadi
2x + 4y = 10
2x + 5y = 12
kemudian kurangkan Persamaan 1.11 dengan Persamaan 1.10, maka Persamaan 1.11 menjadi
y = 2 dan x + 2:2 = 5; maka x = 1

¤ Baris Eselon T ereduksi
Telah dipelajari langkah-langkah OBE, seperti pada Contoh 1.2.1. Pada bagian ini akan ditunjukkan bentuk dari suatu matriks yang mempunyai sifat baris eselon dan baris eselon tereduksi adalah sebagai berikut:
1. Jika suatu baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka angka tak-nol pertama dalam
baris tersebut adalah satu yang disebut dengan utama-1

2. Jika ada baris terdiri dari nol semua, maka pindahkan ke bagian bawah matrik
3. Jika ada dua baris yang beurutan yang tidak seluruhnya nol, utama-1 pada baris yanglebih bawah terletak disebelah kanan utama-1 dari baris atasnya
4. Setiap kolom yang berisi utama-1 mempunyai nol di baris yang lainnya
Jika suatu matriks mempunyai sifat 1, 2 dan 3, maka matriks tersebut disebut matriks
bentuk baris eselon, sedangkan matriks yang mempunyai ke-empat sifat tersebut dinamakan
matriks bentuk baris eselon tereduksi.

Metode Eliminasi Gauss
Metode eliminasi Gauss adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan OBE, sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon. Setelah terbentuk baris eselon, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.
Selesaikan sistem persamaan linear dibawah ini dengan menggnakan
metode eliminasi Gauss
x + y + z = 6
x + 2y + 3z = 14
x + 4y + 9z = 36
Jawab:
Ubah sistem linear ke bentuk matrik0s diperbesar,

Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode eliminasi Gauss-Jordan adalah suatu metode untuk mencari himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan menggunakan OBE, sedemikian hingga matriksnya mempunyai bentuk baris eselon tereduksi. Setelah terbentuk baris eselon tereduksi, kembalikan matriks tersebut dalam bentuk sistem linear dan ditemukan kemudian lakukan substitusi balik mulai dari bawah.

Operasi baris elementer
Ketika dihadapi masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear terutama yang menggunakan banyak peubah, maka hal pertama yang dapat digunakan untuk menyederhanakan permasalahan adalah dengan mengubah sistem persamaan linear yang ada ke dalam bentuk matriks. Suatu persamaan linear biasanya juga tidak didapatkan secara langsung tetapi melalui penyederhanaan dari permasalahan yang terjadi dalam kehidupan sehari – hari. Setelah diubah ke bentuk matriks, maka matriks tersebut diubah ke bentuk matriks dalam bentuk eselon baris tereduksi untuk mendapatkan penyelesaian dari SPL.
Prosedur untuk mendapatkan matriks eselon baris tereduksi biasa disebut sebagai eliminasi Gauss– Jordan . Pada proses eliminasi tersebut operasi – operasi yang digunakan disebut operasi baris elementer.
Dalam operasi baris elementer ini ada beberapa operasi yang dapat digunakan , yaitu :
a. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol
b. Mempertukarkan dua buah baris
c. Menambahkan kelipatan suatu baris ke baris lainnya.
Dengan menggunakan operasi baris elementer , maka matriks eselon baris tereduksi yang didapatkan akan ekuivalen dengan matriks awalnya sehingga penyelesaian untuk matriks eselon baris tereduksi juga merupakan penyelesaian untuk matriks awalnya. Matriks awal yang dimaksud adalah matriks diperbesar.
Untuk melihat secara lebih mudah definisi dari matriks diperbesar akan ditunjukkan berikut ini :
Diketahui SPL dengan m buah persamaan linear dan n peubah
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
:
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Sistem persamaan linear diatas dapat ditulis dalam bentuk matriks AX = B dengan
A =    X =  dan B =
Matriks yang memiliki berukuran nx1 atau 1xn biasa disebut vektor. Penulisan vektor sedikit berbeda dengan penulisan matriks, yaitu menggunakan huruf kecil dengan cetak tebal atau digaris atasnya . Jadi matriks X dan B diatas biasa dituliskan sebagai x dan b
atau x dan b sehingga SPL dapat dituliskan sebagai A x = b . Pada SPL yang berbentuk seperti ini , matriks A juga biasa disebut sebagai matriks konstanta.

Sistem persamaan linear Homogen
Sistem persamaan linear Homogen merupakan kasus khusus dari Sistem persamaan linear biasa A x = b untuk kasus b = 0 . Karena bentuknya yang demikian maka pastilah pada matriks diperbesar [A b ] setelah dilakukan eliminasi Gauss–Jordan kolom terakhirnya akan selalu nol sehingga penyelesaian dari SPL akan selalu ada . Ada dua macam penyelesaian dalam SPL homogen ini yaitu trivial ( tak sejati ) dan tak
trivial ( sejati ).
Penyelesaian trivial terjadi jika satu – satunya penyelesaian untuk SPL adalah x = 0 hal ini terjadi jika semua kolom pada matriks diperbesar [A b ] ( setelah dilakukan eliminasi Gauss– Jordan ) memiliki satu utama kecuali untuk kolom yang terakhir atau dengan kata lain semua kolom pada matriks A memiliki satu utama . Jika hal yang sebaliknya terjadi yaitu tidak semua kolom pada matriks A ( setelah dilakukan eliminasi Gauss–Jordan )

memilki satu utama atau jika terdapat baris nol maka penyelesaian untuk SPL adalah penyelesaian tak trivial yaitu penyelesaian tak hingga banyak.